高考导数的五大热点

四川省骨干教师  苍溪中学高级教师  林明成

导数是微积分的初步知识，是研究函数的三大性质(单调性、极值、最值)以及函数图象的强有力工具，给函数问题注入了生机与活力，为中学函数问题的研究提供了新视角、新方法、新途径，拓宽了我们的解题空间．导数在高考中占有较为重要的地位，常以一小一大或二小一大的试题出现.导数的工具性作用以及导数在高考中的地位决定了导数的复习应当贯穿于高三数学复习的始终.本文把高考中导数常见题型归结为五大类，帮助同学们完善认知结构，提升导数应用能力.

题型一、研究函数的三大性质

例1  研究函数 的单调区间与极值.

解  .

列出 、 随 的变化情况表:

故函数 在 上单调递减，在 上单调递增,

函数 的极小值为 .

评注  ①用传统数学教材中的知识与方法往往难以研究像例1这种高次函数的单调性，导数无疑为这类问题的解决提供了简便快捷的方法;②当方程 的根较多时，“列表法”简明快捷;③可导函数 在 处有极值的必要条件是 .

题型二、求速度、加速度、切线斜率

导数实质就是“变化率”──这就为我们解决速度、加速度、切线斜率提供了一条捷径.

例2  某汽车启动阶段的位移函数是 ，求 秒时汽车的加速度.

解  因为 , 所以 ,

所以当 时， ,即 秒时，汽车的加速度为10.

评注  ①设 是位移函数，则 表示物体在 时刻的瞬时速度；②设 是速度函数，则 表示物体在 时刻的加速度.

例3  求过点 且与曲线 相切的直线方程.

解  设切点为 ，由 与 ，得 .

所以所求切线方程为 .

评注  若点 在曲线 上，则点 处的切线方程为 .

想一想：若点 不在曲线 上，如何求过点 的切线方程？

题型三、不等式问题

对于不等式有关问题(比较大小、解不等式、证明不等式、解决不等式恒成立问题)，可以通过构造函数，再运用导数研究函数的单调性，然后利用单调性将函数值的大小与自变量的大小相互转化，从而达到解决问题的目的.

例4  比较 与 的大小.

解  先证明命题：若 ，其中 为自然对数的底，则 .

要证 ，只须证 ，即须证 .

考查函数 在 上的单调性.

显然在 上 ，所以 在 上单调递减,

又 ，所以 ，故命题得证.

根据上面命题，显然有 .

评注  使不等式两边结构相似，启发构造函数，从而使解题进入程序化：求导 符号 单调性 函数值的大小 解决原问题.

例5  解关于 的不等式 .

解  构造函数 ，则 .

因为当 时， ,

所以函数 在 上单调递减.

由原不等式得 ，即 ,

利用函数 的单调性得 ，解得 或 .

故原不等式的解集为 .

评注  导数在这类问题中的应用往往是隐性的，关键是创造条件、去模拟结构引入辅助函数.

例6  已知函数 . 求证：当 时，恒有 .

证明  要证 ，只需证 ，即需证 .

令 ，则 ，下面证明 .

记 ， ,

所以函数 在 上单调递增，所以 ，故原不等式得证.

评注  近年来，一些用传统方法难以证明的不等式问题逐渐融入高考，导数为这类问题的研究和解决 提供了新途径，同时也充分展示了导数的思维价值和应用价值. 用导数证明超越不等式，证明过程往往简捷、明快，关键是演好用导数证不等式的前奏──构造辅助函数.

例7  已知两个函数 ， .

若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.

错解  在 上的最大值为 . .

当 变化时， 的变化关系如下表：

所以 在 上的最小值为 .

由 ，得实数 的取值范围 .

剖析  对任意 ，都有 成立,

即函数 的图象恒在函数 的图象的下方.

我们观察图1，我们不难发现这种解法是错误的.

正解  令 .

.

当 变化时， 的变化关系如下表：

又 ， ，∴ 在 上的最小值为 .

由 ，得 ，故实数 的取值范围为 .

评注  ①若函数 的值域为 ，则 恒成立 ， 恒成立 ; ②分离参数，揭示函数关系，利用导数判断函数的单调性，进而求函数的最值，是解决不等式恒成立问题的通用方法、重要方法.

题型四、方程问题

例8  已知方程 在区间 上恰有两个相异实根，求实数 的取值范围.

解  记 , 则 .

所以 在 单调递减，在 单调增, 如图2所示.

所以 在区间 上恰有两个相异实根

.

评注  高次方程或超越方程实根的个数问题，通常是构造相应函数，利用导数研究函数性态，分析函数图象的整体形象，并利用图形的直观性来探求.

题型五、导数与三角、数列、解几等知识交汇

在“以能力立意”的高考命题思想指导下，导数的应用前景越来越广阔, 高考对它的考查不会仅仅停留在这些单一的、传统的模式上. 在数列、二项式、立几、解几等分支中，甚至在其它学科中都可以找到导数应用的踪迹，所以导数应用的新增长点、亮点会越来越多.

例9  若 ，则

        (用数字作答).

分析  首先求出 ，这种方法朴素，但误入了歧途，运算烦琐.

解  由 ，两边求导得

,

令 ，得 .

评注  导数和二项式是高中数学中看似“风马牛不相及”的两个数学知识点，它们也能相互渗透、交汇. 导数与二项式的整合值得我们去开拓、去玩味、去思索.

例10  设函数 , 图像的一条对称轴是直线 .

⑴求 ；⑵求函数 的单调增区间；

⑶求证：直线 ( 为常数)与函数 的图像不相切.

解  ⑴ . (过程略)

⑵函数 的单调增区间 ， . (过程略)

⑶因为 , 所以 ,

所以曲线 的切线斜率取值范围为 ,

而直线 的斜率为 ,

所以直线 与函数 的图像不相切.

评注  三角函数中涉及到的最值和单调区间等都可以利用导数知识求解.

例11  若数列 满足 且 ，求证： .

①由题设知 .

②假设 ．设 ，则 .

当 时， ，故 在 上是增函数.

因此，当 时， ,

且 , 即 .

综上①, ②得 时, .

又因为 , 所以 .

评注  由于数列可看作特殊的函数，所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.本题函数、不等式、数列、数学归纳法、导数有机结合、交互渗透，恰符合近年来在知识网络交汇处设计试题的高考命题思想，应当引起重视.

例12  如图3，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 .

⑴求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；

⑵求面积 的最大值.

解  ⑴依题意，以 的中点 为原点建立直

角坐标系 (如图4)，则点 的横坐标为 .

点 的纵坐标 满足方程 ,

解得

,

其定义域为 .

⑵记 , 则 .

令 ，得 .

因为当 时， ；当 时， ，所以 是 的最大值.

因此，当 时， 也取得最大值，最大值为 .

即梯形面积 的最大值为 .

评注  导数的引入，大大拓宽了中学函数知识在实际优化问题中的应用空间.本题以实际问题为载体，考查了导数、圆锥曲线、函数的知识，对同学们的综合能力要求较高.求解本题的关键是准确地将实际问题抽象为数学问题(利用圆锥曲线知识建立目标函数)，熟练应用导数法求出函数的最值.